碎形
維基百科,自由的百科全書
曼德勃羅集合是
碎形中的一個很有名的例子。

曼德勃羅集合的局部放大圖
碎形一般是指「一個粗糙或零碎的
幾何形狀,可以分成數個部份,且每一部份都(至少會大略)是整體縮小尺寸的形狀」,此一性質稱為
自相似。碎形一詞是由
曼德勃羅於1975年提出的,有「零碎」、「破裂」之意。
碎形一般有以下特質
:因為碎形在所有的大小尺度下都顯得相似,所以通常被認為是無限複雜的(以不嚴謹的用詞來說)。自然界裡一定程度類似碎形的事物有雲、山脈、閃電、海岸線和雪片等等。但是,並不是所有自相似的東西都是碎形,如
實線雖然在形式上是自相似的,但卻不符合碎形的其他特質。
目錄 歷史
謝爾賓斯基三角形的動畫表示,只顯示出
無限遞迴的最初九次。

要做出一個
科赫雪花,首先先畫出一個正三角形,然後再將每一邊中央三之分一長的線段以一對同長度的線段取代,使之成為一個等腰的「凸角」。接下來,再對上一步驟所形成的每一個邊做同樣的動作,無限遞迴下去。隨著每一次的
迭代,此形狀的周長會增加出原長度的三分之一來。科赫雪花即是無限次迭代的結果,且會有無限長的長度,但其面積卻還是有限的。因此,科赫雪花和其他相似的構造有時會被稱為「怪獸曲線」。
17世紀時,數學家兼哲學家
萊布尼茨思考過
遞迴的自相似,碎形的
數學從那時開始漸漸地成形(雖然他誤認只有直線會自相似)。
直到1872年,
卡爾·魏爾施特拉斯給出一個處處
連續但
處處不可微的
例子,在今日被認為是碎形的
圖形才出現。1904年,
科赫·范·卡區不滿意魏爾施特拉斯那抽象且解析的定義,給出一個相似函數但更幾何的定義,今日稱之為
科赫雪花。1915年
瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基造出了
謝爾賓斯基三角形;隔年,又造出了
謝爾賓斯基地毯。原本,這些幾何碎形都被認為是碎形,而不如現今所認為的二維形狀。1938年,
保羅·皮埃爾·雷維在他的論文《Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole》中將自相似曲線的概念更進一步地推進,他在文中描述了一個新的碎形曲線-
雷維C形曲線。
格奧爾格·康托爾也給出一個具有不尋常性質的實數
子集-
康托爾集,今日也被認為是碎形。
複數平面的迭代函數在19世紀末20世紀初被
朱爾·亨利·龐加萊、
菲利克斯·克萊因、
皮埃爾·法圖和
加斯東·茱莉亞等人所研究,但直到現在有電腦繪圖的幫忙,許多他們所發現的函數才顯現出其美麗來。
1960年代,
伯努瓦·曼德勃羅開始研究自相似,且寫下一篇論文《
英國的海岸線有多長?統計自相似和分數維度》。最後,1975年,曼德勃羅提出了「碎形」一詞,來標記一個物件,其
豪斯多夫維會大於
拓撲維。曼德勃羅以顯著的電腦架構圖像來描繪此一數學定義,這些圖像有著普遍的映象;許多都基於遞歸,以至「碎形」的一般意思。
造法

即使將曼德勃羅集合放大2000倍,還是會顯示出類似整個集合的精細結構。 四個製造碎形的一般技術如下:
分類
碎形也可以依據其自相似來分類,有如下三種:
- 精確自相似:這是最強的一種自相似,碎形在任一尺度下都顯得一樣。由迭代函數系統定義出的碎形通常會展現出精確自相似來。
- 半自相似:這是一種較鬆的自相似,碎形在不同尺度下會顯得大略(但非精確)相同。半自相似碎形包含有整個碎形扭曲及退化形式的縮小尺寸。由遞迴關係式定義出的碎形通常會是半自相似,但不會是精確自相似。
- 統計自相似:這是最弱的一種自相似,這種碎形在不同尺度下都能保有固定的數值或統計測度。大多數對「碎形」合理的定義自然會導致某一類型的統計自相似(碎形維數本身即是個在不同尺度下都保持固定的數值測度)。隨機碎形是統計自相似,但非精確及半自相似的碎形的一個例子。
應用
主條目:
碎形分析
如上所述,隨機碎形可以用來描述許多高度不規則的現實世界的物件。其他碎形的應用亦包括
[3]:
軟體