碎形
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曼德勃羅集合是
碎形中的一個很有名的例子。
曼德勃羅集合的局部放大圖
碎形一般是指「一個粗糙或零碎的
幾何形狀，可以分成數個部份，且每一部份都（至少會大略）是整體縮小尺寸的形狀」，此一性質稱為
自相似。碎形一詞是由
曼德勃羅於1975年提出的，有「零碎」、「破裂」之意。
碎形一般有以下特質
:因為碎形在所有的大小尺度下都顯得相似，所以通常被認為是無限複雜的（以不嚴謹的用詞來說）。自然界裡一定程度類似碎形的事物有雲、山脈、閃電、海岸線和雪片等等。但是，並不是所有自相似的東西都是碎形，如
實線雖然在形式上是自相似的，但卻不符合碎形的其他特質。
目錄 歷史
謝爾賓斯基三角形的動畫表示，只顯示出
無限遞迴的最初九次。
要做出一個
科赫雪花，首先先畫出一個正三角形，然後再將每一邊中央三之分一長的線段以一對同長度的線段取代，使之成為一個等腰的「凸角」。接下來，再對上一步驟所形成的每一個邊做同樣的動作，無限遞迴下去。隨著每一次的
迭代，此形狀的周長會增加出原長度的三分之一來。科赫雪花即是無限次迭代的結果，且會有無限長的長度，但其面積卻還是有限的。因此，科赫雪花和其他相似的構造有時會被稱為「怪獸曲線」。
17世紀時，數學家兼哲學家
萊布尼茨思考過
遞迴的自相似，碎形的
數學從那時開始漸漸地成形（雖然他誤認只有直線會自相似）。
直到1872年，
卡爾·魏爾施特拉斯給出一個處處
連續但
處處不可微的
例子，在今日被認為是碎形的
圖形才出現。1904年，
科赫·范·卡區不滿意魏爾施特拉斯那抽象且解析的定義，給出一個相似函數但更幾何的定義，今日稱之為
科赫雪花。1915年
瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基造出了
謝爾賓斯基三角形；隔年，又造出了
謝爾賓斯基地毯。原本，這些幾何碎形都被認為是碎形，而不如現今所認為的二維形狀。1938年，
保羅·皮埃爾·雷維在他的論文《Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole》中將自相似曲線的概念更進一步地推進，他在文中描述了一個新的碎形曲線－
雷維C形曲線。
格奧爾格·康托爾也給出一個具有不尋常性質的實數
子集－
康托爾集，今日也被認為是碎形。
複數平面的迭代函數在19世紀末20世紀初被
朱爾·亨利·龐加萊、
菲利克斯·克萊因、
皮埃爾·法圖和
加斯東·茱莉亞等人所研究，但直到現在有電腦繪圖的幫忙，許多他們所發現的函數才顯現出其美麗來。
1960年代，
伯努瓦·曼德勃羅開始研究自相似，且寫下一篇論文《
英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度》。最後，1975年，曼德勃羅提出了「碎形」一詞，來標記一個物件，其
豪斯多夫維會大於
拓撲維。曼德勃羅以顯著的電腦架構圖像來描繪此一數學定義，這些圖像有著普遍的映象；許多都基於遞歸，以至「碎形」的一般意思。
造法
即使將曼德勃羅集合放大2000倍，還是會顯示出類似整個集合的精細結構。 四個製造碎形的一般技術如下：
分類
碎形也可以依據其自相似來分類，有如下三種：
- 精確自相似：這是最強的一種自相似，碎形在任一尺度下都顯得一樣。由迭代函數系統定義出的碎形通常會展現出精確自相似來。
- 半自相似：這是一種較鬆的自相似，碎形在不同尺度下會顯得大略（但非精確）相同。半自相似碎形包含有整個碎形扭曲及退化形式的縮小尺寸。由遞迴關係式定義出的碎形通常會是半自相似，但不會是精確自相似。
- 統計自相似：這是最弱的一種自相似，這種碎形在不同尺度下都能保有固定的數值或統計測度。大多數對「碎形」合理的定義自然會導致某一類型的統計自相似（碎形維數本身即是個在不同尺度下都保持固定的數值測度）。隨機碎形是統計自相似，但非精確及半自相似的碎形的一個例子。
應用
主條目：
碎形分析
如上所述，隨機碎形可以用來描述許多高度不規則的現實世界的物件。其他碎形的應用亦包括
[3]：
軟體