財經 - 貨幣的時間價值

[猜謎人]

　　這篇文章如果是學過會計的人看了，可能就覺得不值得一哂，因為，這篇都是省略過的。但在這裡是想要簡單說明這些觀念，所以，也就把它拿來說一下！希望能有助於了解複利和年金的概念。
一、 複利終值
　　什麼是複利終值？在此我們一律用口語說明，不用難懂的專有名詞。舉個例子來說，如果存入一筆錢，那麼，假設十年後會變成多少錢？當我們存入之後，每半年會算一次利息，但是，下一次計算利息時，之前的利息會併入本金來算這次的利息，於是，錢又滾錢，到最後會變成多少錢，這個數字我們稱之複利終值！
　　以下圖來說明：



　　如果在年初存入本金P，經過一段時間，其複利終值就是P(1+I)^n，其證明如下：



　　第一期的利息是本金P乘上利率i，也就是P*i！
　　第一期的本利和S1就是本金P加上利息I1，也就是P+I1，其中I1又是P*i，所以，S1=P+P*i，我們提出公因數P，於是，S1=(1+I)P。
　　第二期的本金已經不是P了，而是S1，因為，第一期的利息滾入本金來算第二期的利息，同樣的，第二期利息就是S1*i。
　　第二期的本利和就是S1+S1*i，也就是P(1+i)+P(1+i)i，同樣提出P(1+i)，所以式子變成(1+i)P(1+i)=P(1+i)^2。
　　後面就都一樣了，結論就是n年後，本利和就是P(1+i)^n，這個就是複利終值的公式。
　　我們舉個實例，假設小護士要存自己的結婚基金，於是存了＄200,000到銀行，當時年利率是4%，小護士預計五年後可以使用，以台灣每年一月和七月計息，也就是一年複利兩次，五年複利10次，利率是4%/2=2%複利終值如下：
　　　　　S=200,000(1+2%)^10=243,798.88
　　多了43,798.88元！
　　這裡要說明一下，一般我們都把本金當作一元，如此，我們只要有(1+i)^n這個數值，那麼，只要知道本金，去乘以(1+i)^n就可得到結果，在財務上，我們可以稱(1+i)^n叫做複利終值，過去都是查表得知，現在電腦這麼方便，我們可以直接算，或用軟體計算。
二、 複利現值
　　現在我們反過來，把複利終值的觀念倒轉一下，如果我們經過十期之後想要領到＄200,000，那麼，我們現在要存在銀行多少錢？這時候，我們的終值就是＄200,000，我們現在要求的是本金P，以下圖來看：



以計算式子來說明：



　　已經知道終值Sn，(1+i)^n也已知，現在要求P，我們只要移項，就可得到複利現值的公式！
同樣的，我們在此把Sn當作一元，也就是未來要得到一元，現在要存多少錢？如果有了1/(1+I)^n，那麼只要知道未來的金額，只要相乘即可！
　　舉實例來看，卡拉五年後想要買台汽車，假設想要五年後有＄200,000，那現在要存多少錢？同樣的，年息4%，一年複利兩次，複利10期，利率是4%/2=2%
P=200000/(1+2%)^n=164069.65997
　　卡拉，快去存吧！
三、 年金終值
　　現在，我們要來點難的了，其實，說難也不難，就是要花一點心思，我們要說的是年金終值！什麼叫做年金？所謂年金就是每一期末交付一定的金額來作複利，我們之前複利終值是指期初存一筆金額，一直不動看最後能複利多少？現在是每年年底都存一定金額作複利，以下圖來看：



　　第一期期末存一定金額A存到最後我們可得終值A(1+i)^(n-1)，第二期期末又存一定金額A存到最後我們可得終值A(1+i)^(n-2)，每期都存！最後我們給加起來就是我們最後可得到的年金終值！你會說那我們不能期初來存？可以的，這種我們稱他期初年金，又或者問為什麼要存一定金額，金額不同不行嗎？當然可以！這種我們叫做變額年金，不管如何，這些都是特殊不同的，在此我們只討論期末交付一定金額，這種我們稱普通年金。
現在我們要把這些加起來推算公式，證明如下：



　　第一式就是我們把每一期末交付的金額A，複利到最後的總合，我們把第一式的兩邊同乘上(1+i)變成第二式，然後，把第二式減去第一式得出
　　Sn(1+i)-Sn=A(1+i)^n－A
　　把Sn和A提出來再移項
　　公式完成！一樣的我們若把交付金額當作一元，[(1+i)^n－1]/i就是年金終值公式！
　　舉實例，小q想要一發久久久，所以，他打算每半年存＄100,000，存十年後，他有多少錢？
一樣，一年複利兩次，十年共二十期，年息4﹪，利率4﹪/2=2﹪：
Sn=＄100,000{[(1+0.02)^20－1]/0.02}=＄2,429736.98
　　小q你發了！
四、 年金現值
　　這個是年金終值相反的觀念，我們直接舉個實例來看，如果我們想在未來的十年，每半年可以領＄100,000，十年剛好領完，那我們現在要存多少錢到銀行？也就是說，十年內每半年領的＄100,000，現在是值多少？以下圖來表達：



第一期末的年金A折算到現在，第二期的A也折算到現在，每一期都折算到現在，再把他們全部加起來！這個就是年金現值，現在我們來證明其公式，如下面的證明內容：



　　第一式的P就是年金現值，把每一期的支付A都折現到現在，我們把第一式的兩邊乘上（1+i），這就成了第二式。
一樣，把第二式減去第一式，再左邊提出P，右邊提出A，移項即可得出P，同樣，我們假設年金A是一元，把右式整理一下，那麼[1-(1+i)^-n]/I就是年金現值的公式！
　　舉個應用例子，老猜想退休了，由於粗茶淡飯，半年一萬元就夠活了，預計領十年，老猜現在要存多少錢才夠？
同樣年息4%，4%/2=2%，一年複利兩次，十年二十次。計算如下：
P=＄10,000[1-(1+2%)^-20]/2%=＄163,54.33
　　以上複利公式數值可以自行計算，也有人已寫成Excel檔，可自行下載使用！ 下載
　　下次我們再來談年金的一些應用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 結束

[ppp0600]

作者: 猜謎人

我常常覺得國內的數學教育蠻失敗的，為了要快速學好，於是都是死記的方式
其實數學應該應導引小孩去思考，多想解決的方法，我也曾不看答案自己解，結果和解答不同，但是結論一樣！數學是宇宙共同的語言啊

以前還會去算，畢業後工作跟本科不同，漸漸的就將微積分通通還老師了....
之前做印刷不需要微積分，現在這工作就更不需要微積分
只剩下+ - * / 的功能了....

[fishiii]

作者: 猜謎人

我常常覺得國內的數學教育蠻失敗的，為了要快速學好，於是都是死記的方式
其實數學應該應導引小孩去思考，多想解決的方法，我也曾不看答案自己解，結果和解答不同，但是結論一樣！數學是宇宙共同的語言啊

有另一個盲點..就是我們高中生參加國際數學奧林匹亞競賽，總成績都在全世界排名前10。
2007年排名第10
http://www.imo2007.edu.vn/index.php?...tByCountry.php
2008年排名第9
http://www.imo-2008.es/results.html

全世界有90幾個國家參賽。

這樣說起來我們的學子數學能力算是強國。（要是奧運也能這樣就好了....）


可惜的是..優秀人才往往要到國外去發展。如果留在國內發展..好像成就也就止於如此了。

照理說..這些人才應該在10年或20年後有一定的成就了....
不知道是我孤陋寡聞不知道他們的發展？還是真的上了大學之後..這些人就沈寂了..

我總覺得..我們的教育太取向於功利主義。也就是為了得獎而去做，而非用培養人才的方式..體育如此，教育也是如此。但得獎之後呢？？..

[cara551977]

兩極化

每個學校幾乎都有著一種恐怖的班級

數學資優班

他们的理解能力

而學校的另一邊還有放牛班

只要不做壞事其他作什麼都可以的班級

這種班級人數比資由班來的多好多倍

當然會出現這種問題囉

[fishiii]

作者: cara551977

兩極化

每個學校幾乎都有著一種恐怖的班級

數學資優班

他们的理解能力

而學校的另一邊還有放牛班

只要不做壞事其他作什麼都可以的班級

這種班級人數比資由班來的多好多倍

當然會出現這種問題囉

就是如此..你會發現..所謂放牛班的學生..最後成為大老闆、大流氓的往往都是被放棄的小孩..

真正資優班的學生..以我的認識或者觀察..最後了不起的成就..
大概就是教育界或者公務界了....

我唯一知道的大人物..就是CIH病毒的作者..他是我同國小畢業的...我記得國小3、4年級還與他同班過..他是班長
當初他被抓時..我總覺得他很眼熟..聽到名字後..又感覺更熟悉..
因為我紀念冊還留著，一翻紀念冊..果然是他....為何會有印象..因為我中午睡不著覺..趴在桌子上，眼睛看地下..他會彎下腰看你沒睡覺記你缺點...我就這樣老是被罰掃地..（我真是會記恨..)

[猜謎人]

作者: fishiii

有另一個盲點..就是我們高中生參加國際數學奧林匹亞競賽，總成績都在全世界排名前10。
2007年排名第10
http://www.imo2007.edu.vn/index.php?...tByCountry.php
2008年排名第9
http://www.imo-2008.es/results.html

全世界有90幾個國家參賽。

這樣說起來我們的學子數學能力算是強國。（要是奧運也能這樣就好了....）


可惜的是..優秀人才往往要到國外去發展。如果留在國內發展..好像成就也就止於如此了。

照理說..這些人才應該在10年或20年後有一定的成就了....
不知道是我孤陋寡聞不知道他們的發展？還是真的上了大學之後..這些人就沈寂了..

我總覺得..我們的教育太取向於功利主義。也就是為了得獎而去做，而非用培養人才的方式..體育如此，教育也是如此。但得獎之後呢？？..

大學之後除非深造做研究
要不然
只是一個獎牌而已
我們買一包乖乖也用不到X,Y
sin cos

[qdenise]

日常生活用不到呀…用不到就不會想學…學了也會忘

我一個數學老師自稱三角酷(褲)王子

他說他當兵時打撞球是打遍天下無敵手

還因此放過榮譽假

他就是一邊打一邊算sin cos

這種人的想法還真是無法理解
我只會+-*/

會活用自然不容易忘…

可是我們的小腦袋瓜學那個只為應付考試

[猜謎人]

作者: qdenise

日常生活用不到呀…用不到就不會想學…學了也會忘

我一個數學老師自稱三角酷(褲)王子

他說他當兵時打撞球是打遍天下無敵手

還因此放過榮譽假

他就是一邊打一邊算sin cos

這種人的想法還真是無法理解
我只會+-*/

會活用自然不容易忘…

可是我們的小腦袋瓜學那個只為應付考試

那就讓我來算吧

終於寫完了
以後再來寫房貸攤還和債券的應用

[cara551977]

作者: qdenise

日常生活用不到呀…用不到就不會想學…學了也會忘

我一個數學老師自稱三角酷(褲)王子

他說他當兵時打撞球是打遍天下無敵手

還因此放過榮譽假

他就是一邊打一邊算sin cos

這種人的想法還真是無法理解
我只會+-*/

會活用自然不容易忘…

可是我們的小腦袋瓜學那個只為應付考試

這可是我們高中時期光明正大課外教學實際翹課的好理由

去撞球場研究三角函數

[qdenise]

現在好像很少看到撞球場

也很少人去那邊打撞球了

還是…我們跟他們是不同族群的

[cara551977]

我們離他們太遙遠囉

所以沒有發現拉

其實還存在的

那算跟我們不同時空的地方囉

[grc45]

作者: 猜謎人

是啊！大哥，數學真的很傷神，我也曾解一題數學，想到竟然在睡夢中得到解答，真是不可思議
不過，自己親自理解後，你會發現功力又更深一層

數學有如冰山美人，倘若不多加獻殷勤，人就無法洞悉內涵，數學課堂裡學子群，坐似認真的有多少，不深入運算多思考，到頭來還是一場空。

多想、多算，自然理解貫通，思路打通了，一切勢如破竹，興趣盎然。

您的日思夜想，就是成功的集合，理解力自然映成函數﹗

[猜謎人]

作者: grc45

數學有如冰山美人，倘若不多加獻殷勤，人就永遠洞悉內涵，數學課堂裡學子群，坐似認真的有多少，不深入運算多思考，到頭來只是一場空。

多想、多算，自然理解貫通，思路打通了，一切勢如破竹，興趣盎然。

您的日思夜想，就是成功的集合，理解力自然映成函數﹗

累積的觀念也可以用積分算面積

[oya1340]

看不懂啦....快速跑掉

















猜伯幫我算算我的助貸要還的話一個月要付多少錢吧(算借50萬的話..利率依排價)

[猜謎人]

作者: oya1340

看不懂啦....快速跑掉

















猜伯幫我算算我的助貸要還的話一個月要付多少錢吧(算借50萬的話..利率依排價)

利率要算多少
分幾年還呢？

[oya1340]

作者: 猜謎人

利率要算多少
分幾年還呢？

我去看看...我也不太知道耶...因為銀行有他不一樣的規定...在跟你說唷...謝啦