財經 - 貨幣的時間價值

[猜謎人]

　　這篇文章如果是學過會計的人看了，可能就覺得不值得一哂，因為，這篇都是省略過的。但在這裡是想要簡單說明這些觀念，所以，也就把它拿來說一下！希望能有助於了解複利和年金的概念。
一、 複利終值
　　什麼是複利終值？在此我們一律用口語說明，不用難懂的專有名詞。舉個例子來說，如果存入一筆錢，那麼，假設十年後會變成多少錢？當我們存入之後，每半年會算一次利息，但是，下一次計算利息時，之前的利息會併入本金來算這次的利息，於是，錢又滾錢，到最後會變成多少錢，這個數字我們稱之複利終值！
　　以下圖來說明：



　　如果在年初存入本金P，經過一段時間，其複利終值就是P(1+I)^n，其證明如下：



　　第一期的利息是本金P乘上利率i，也就是P*i！
　　第一期的本利和S1就是本金P加上利息I1，也就是P+I1，其中I1又是P*i，所以，S1=P+P*i，我們提出公因數P，於是，S1=(1+I)P。
　　第二期的本金已經不是P了，而是S1，因為，第一期的利息滾入本金來算第二期的利息，同樣的，第二期利息就是S1*i。
　　第二期的本利和就是S1+S1*i，也就是P(1+i)+P(1+i)i，同樣提出P(1+i)，所以式子變成(1+i)P(1+i)=P(1+i)^2。
　　後面就都一樣了，結論就是n年後，本利和就是P(1+i)^n，這個就是複利終值的公式。
　　我們舉個實例，假設小護士要存自己的結婚基金，於是存了＄200,000到銀行，當時年利率是4%，小護士預計五年後可以使用，以台灣每年一月和七月計息，也就是一年複利兩次，五年複利10次，利率是4%/2=2%複利終值如下：
　　　　　S=200,000(1+2%)^10=243,798.88
　　多了43,798.88元！
　　這裡要說明一下，一般我們都把本金當作一元，如此，我們只要有(1+i)^n這個數值，那麼，只要知道本金，去乘以(1+i)^n就可得到結果，在財務上，我們可以稱(1+i)^n叫做複利終值，過去都是查表得知，現在電腦這麼方便，我們可以直接算，或用軟體計算。
二、 複利現值
　　現在我們反過來，把複利終值的觀念倒轉一下，如果我們經過十期之後想要領到＄200,000，那麼，我們現在要存在銀行多少錢？這時候，我們的終值就是＄200,000，我們現在要求的是本金P，以下圖來看：



以計算式子來說明：



　　已經知道終值Sn，(1+i)^n也已知，現在要求P，我們只要移項，就可得到複利現值的公式！
同樣的，我們在此把Sn當作一元，也就是未來要得到一元，現在要存多少錢？如果有了1/(1+I)^n，那麼只要知道未來的金額，只要相乘即可！
　　舉實例來看，卡拉五年後想要買台汽車，假設想要五年後有＄200,000，那現在要存多少錢？同樣的，年息4%，一年複利兩次，複利10期，利率是4%/2=2%
P=200000/(1+2%)^n=164069.65997
　　卡拉，快去存吧！
三、 年金終值
　　現在，我們要來點難的了，其實，說難也不難，就是要花一點心思，我們要說的是年金終值！什麼叫做年金？所謂年金就是每一期末交付一定的金額來作複利，我們之前複利終值是指期初存一筆金額，一直不動看最後能複利多少？現在是每年年底都存一定金額作複利，以下圖來看：



　　第一期期末存一定金額A存到最後我們可得終值A(1+i)^(n-1)，第二期期末又存一定金額A存到最後我們可得終值A(1+i)^(n-2)，每期都存！最後我們給加起來就是我們最後可得到的年金終值！你會說那我們不能期初來存？可以的，這種我們稱他期初年金，又或者問為什麼要存一定金額，金額不同不行嗎？當然可以！這種我們叫做變額年金，不管如何，這些都是特殊不同的，在此我們只討論期末交付一定金額，這種我們稱普通年金。
現在我們要把這些加起來推算公式，證明如下：



　　第一式就是我們把每一期末交付的金額A，複利到最後的總合，我們把第一式的兩邊同乘上(1+i)變成第二式，然後，把第二式減去第一式得出
　　Sn(1+i)-Sn=A(1+i)^n－A
　　把Sn和A提出來再移項
　　公式完成！一樣的我們若把交付金額當作一元，[(1+i)^n－1]/i就是年金終值公式！
　　舉實例，小q想要一發久久久，所以，他打算每半年存＄100,000，存十年後，他有多少錢？
一樣，一年複利兩次，十年共二十期，年息4﹪，利率4﹪/2=2﹪：
Sn=＄100,000{[(1+0.02)^20－1]/0.02}=＄2,429736.98
　　小q你發了！
四、 年金現值
　　這個是年金終值相反的觀念，我們直接舉個實例來看，如果我們想在未來的十年，每半年可以領＄100,000，十年剛好領完，那我們現在要存多少錢到銀行？也就是說，十年內每半年領的＄100,000，現在是值多少？以下圖來表達：



第一期末的年金A折算到現在，第二期的A也折算到現在，每一期都折算到現在，再把他們全部加起來！這個就是年金現值，現在我們來證明其公式，如下面的證明內容：



　　第一式的P就是年金現值，把每一期的支付A都折現到現在，我們把第一式的兩邊乘上（1+i），這就成了第二式。
一樣，把第二式減去第一式，再左邊提出P，右邊提出A，移項即可得出P，同樣，我們假設年金A是一元，把右式整理一下，那麼[1-(1+i)^-n]/I就是年金現值的公式！
　　舉個應用例子，老猜想退休了，由於粗茶淡飯，半年一萬元就夠活了，預計領十年，老猜現在要存多少錢才夠？
同樣年息4%，4%/2=2%，一年複利兩次，十年二十次。計算如下：
P=＄10,000[1-(1+2%)^-20]/2%=＄163,54.33
　　以上複利公式數值可以自行計算，也有人已寫成Excel檔，可自行下載使用！ 下載
　　下次我們再來談年金的一些應用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 結束

[猜謎人]

作者: K22514

有些老師教數學 最後對學生說:
聽不懂的 自己去找參考書 ~~

[猜謎人]

作者: oya1340

比我們老師好...報告不會寫唷..可以去参考護理協會論文看怎麼寫的...那我們就變無頭蒼蠅到處自己查了

就照格式寫啊

有引用要附註

最後列參考書目

[cara551977]

作者: K22514

有些老師教數學 最後對學生說:
聽不懂的 自己去找參考書 ~~

真的有這種老師

向會計阿統計阿生產系統阿不小心給他當小老師

就有遇過白木的同學跟老師說

說他聽不懂老師講的拉~偶講的他就懂

害我後來被定

[oya1340]

作者: 猜謎人

就照格式寫啊

有引用要附註

最後列參考書目

但是格式呢??沒說...參考文獻哪找..沒說連參考文獻格式怎麼寫也沒說一切都是我們自己來ㄚ早知道先去跟學姊修護理報告寫作這門課...是誰(導師)叫我不能去的ㄚ害到我


還好我有幫手...這時家人親戚真是好幫手...

[cara551977]

作者: oya1340

但是格式呢??沒說...參考文獻哪找..沒說連參考文獻格式怎麼寫也沒說一切都是我們自己來ㄚ早知道先去跟學姊修護理報告寫作這門課...是誰(導師)叫我不能去的ㄚ害到我


還好我有幫手...這時家人親戚真是好幫手...

這種東西~我們也都是自己生阿

被退稿個幾次就知道問題了

也就學會了ㄚ

不過常常需要去國圖K書倒是真的

[猜謎人]

先決定題目
找此題目的第一篇期刊
再依此篇後面參考書目往下找
你可以找到一大趴

[oya1340]

作者: cara551977

這種東西~我們也都是自己生阿

被退稿個幾次就知道問題了

也就學會了ㄚ

不過常常需要去國圖K書倒是真的

對阿...所以我學乖了開學報告一出來先去慢慢找資料然後就可以多退幾次啦...那樣子寫的更完整呢

[oya1340]

作者: 猜謎人

先決定題目
找此題目的第一篇期刊
再依此篇後面參考書目往下找
你可以找到一大趴

不好意思我們要參考10篇中文3篇英文...所以2週內我一定寫不出來啦...還好我家人幫我大該翻出英文的所以還ok沒被退好險好險

[cara551977]

作者: oya1340

對阿...所以我學乖了開學報告一出來先去慢慢找資料然後就可以多退幾次啦...那樣子寫的更完整呢

對阿

反正就丟給老師去頭大

逼他改然後在針對問題下去修正

被退稿是正常的啦

老師肯花時間幫你抓出問題

那才是可以讓我們比別人多收穫到的地方阿

[猜謎人]

作者: oya1340

不好意思我們要參考10篇中文3篇英文...所以2週內我一定寫不出來啦...還好我家人幫我大該翻出英文的所以還ok沒被退好險好險

所以
英文很重要

[古里特]

作者: 猜謎人

你去問那些幹嘛

我都算給你看了

還特別起另外一樓算給你看

還在懷疑那我也沒辦法了

作者: 猜謎人

只是覺得他有點.................

抱歉咩

偶比較喜歡打破沙鍋問到底

花泥老人家這麼多時間

[猜謎人]

作者: 古里特

抱歉咩

偶比較喜歡打破沙鍋問到底

花泥老人家這麼多時間

你很容易堅持自己想法
很難接受其他想法
不算是問到底啊

[oya1340]

作者: 猜謎人

你很容易堅持自己想法
很難接受其他想法
不算是問到底啊

沒錯...這就是她有時很討人厭的地方"堅持己見"

[oya1340]

作者: 猜謎人

所以
英文很重要

天生英文跟我不熟耶



我真的連基本英文懂得都不多...但是專業英文還可以啦

[猜謎人]

作者: oya1340

沒錯...這就是她有時很討人厭的地方"堅持己見"

杯子總得先倒空才可以裝水啊