財經 - 貨幣的時間價值

[猜謎人]

　　這篇文章如果是學過會計的人看了，可能就覺得不值得一哂，因為，這篇都是省略過的。但在這裡是想要簡單說明這些觀念，所以，也就把它拿來說一下！希望能有助於了解複利和年金的概念。
一、 複利終值
　　什麼是複利終值？在此我們一律用口語說明，不用難懂的專有名詞。舉個例子來說，如果存入一筆錢，那麼，假設十年後會變成多少錢？當我們存入之後，每半年會算一次利息，但是，下一次計算利息時，之前的利息會併入本金來算這次的利息，於是，錢又滾錢，到最後會變成多少錢，這個數字我們稱之複利終值！
　　以下圖來說明：



　　如果在年初存入本金P，經過一段時間，其複利終值就是P(1+I)^n，其證明如下：



　　第一期的利息是本金P乘上利率i，也就是P*i！
　　第一期的本利和S1就是本金P加上利息I1，也就是P+I1，其中I1又是P*i，所以，S1=P+P*i，我們提出公因數P，於是，S1=(1+I)P。
　　第二期的本金已經不是P了，而是S1，因為，第一期的利息滾入本金來算第二期的利息，同樣的，第二期利息就是S1*i。
　　第二期的本利和就是S1+S1*i，也就是P(1+i)+P(1+i)i，同樣提出P(1+i)，所以式子變成(1+i)P(1+i)=P(1+i)^2。
　　後面就都一樣了，結論就是n年後，本利和就是P(1+i)^n，這個就是複利終值的公式。
　　我們舉個實例，假設小護士要存自己的結婚基金，於是存了＄200,000到銀行，當時年利率是4%，小護士預計五年後可以使用，以台灣每年一月和七月計息，也就是一年複利兩次，五年複利10次，利率是4%/2=2%複利終值如下：
　　　　　S=200,000(1+2%)^10=243,798.88
　　多了43,798.88元！
　　這裡要說明一下，一般我們都把本金當作一元，如此，我們只要有(1+i)^n這個數值，那麼，只要知道本金，去乘以(1+i)^n就可得到結果，在財務上，我們可以稱(1+i)^n叫做複利終值，過去都是查表得知，現在電腦這麼方便，我們可以直接算，或用軟體計算。
二、 複利現值
　　現在我們反過來，把複利終值的觀念倒轉一下，如果我們經過十期之後想要領到＄200,000，那麼，我們現在要存在銀行多少錢？這時候，我們的終值就是＄200,000，我們現在要求的是本金P，以下圖來看：



以計算式子來說明：



　　已經知道終值Sn，(1+i)^n也已知，現在要求P，我們只要移項，就可得到複利現值的公式！
同樣的，我們在此把Sn當作一元，也就是未來要得到一元，現在要存多少錢？如果有了1/(1+I)^n，那麼只要知道未來的金額，只要相乘即可！
　　舉實例來看，卡拉五年後想要買台汽車，假設想要五年後有＄200,000，那現在要存多少錢？同樣的，年息4%，一年複利兩次，複利10期，利率是4%/2=2%
P=200000/(1+2%)^n=164069.65997
　　卡拉，快去存吧！
三、 年金終值
　　現在，我們要來點難的了，其實，說難也不難，就是要花一點心思，我們要說的是年金終值！什麼叫做年金？所謂年金就是每一期末交付一定的金額來作複利，我們之前複利終值是指期初存一筆金額，一直不動看最後能複利多少？現在是每年年底都存一定金額作複利，以下圖來看：



　　第一期期末存一定金額A存到最後我們可得終值A(1+i)^(n-1)，第二期期末又存一定金額A存到最後我們可得終值A(1+i)^(n-2)，每期都存！最後我們給加起來就是我們最後可得到的年金終值！你會說那我們不能期初來存？可以的，這種我們稱他期初年金，又或者問為什麼要存一定金額，金額不同不行嗎？當然可以！這種我們叫做變額年金，不管如何，這些都是特殊不同的，在此我們只討論期末交付一定金額，這種我們稱普通年金。
現在我們要把這些加起來推算公式，證明如下：



　　第一式就是我們把每一期末交付的金額A，複利到最後的總合，我們把第一式的兩邊同乘上(1+i)變成第二式，然後，把第二式減去第一式得出
　　Sn(1+i)-Sn=A(1+i)^n－A
　　把Sn和A提出來再移項
　　公式完成！一樣的我們若把交付金額當作一元，[(1+i)^n－1]/i就是年金終值公式！
　　舉實例，小q想要一發久久久，所以，他打算每半年存＄100,000，存十年後，他有多少錢？
一樣，一年複利兩次，十年共二十期，年息4﹪，利率4﹪/2=2﹪：
Sn=＄100,000{[(1+0.02)^20－1]/0.02}=＄2,429736.98
　　小q你發了！
四、 年金現值
　　這個是年金終值相反的觀念，我們直接舉個實例來看，如果我們想在未來的十年，每半年可以領＄100,000，十年剛好領完，那我們現在要存多少錢到銀行？也就是說，十年內每半年領的＄100,000，現在是值多少？以下圖來表達：



第一期末的年金A折算到現在，第二期的A也折算到現在，每一期都折算到現在，再把他們全部加起來！這個就是年金現值，現在我們來證明其公式，如下面的證明內容：



　　第一式的P就是年金現值，把每一期的支付A都折現到現在，我們把第一式的兩邊乘上（1+i），這就成了第二式。
一樣，把第二式減去第一式，再左邊提出P，右邊提出A，移項即可得出P，同樣，我們假設年金A是一元，把右式整理一下，那麼[1-(1+i)^-n]/I就是年金現值的公式！
　　舉個應用例子，老猜想退休了，由於粗茶淡飯，半年一萬元就夠活了，預計領十年，老猜現在要存多少錢才夠？
同樣年息4%，4%/2=2%，一年複利兩次，十年二十次。計算如下：
P=＄10,000[1-(1+2%)^-20]/2%=＄163,54.33
　　以上複利公式數值可以自行計算，也有人已寫成Excel檔，可自行下載使用！ 下載
　　下次我們再來談年金的一些應用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 結束

[猜謎人]

作者: 猜謎人

我的計算是
一個月還一萬
利率4%
一個月4%/12=0.00333333
第一個月的一萬元中3333還利息6667還本金
不過
我的計算每月金額固定且到期剛好還完本金

把舊文找出來

[古里特]

作者: 猜謎人

哪有這種一直付息的，多出利息的錢當然還本金
使的下一期的本金減少
付的利息更少，還的本金更多
如果只能還利息
那本金何時還？

你這篇文章我不是回覆了嗎？

偶問過了

不像是泥說的這種方式

對方的說法是銀行會先計算好20期總共該給銀行多少

然後會計算出這20年來，每個月要付多少錢

通常前幾年付的幾乎都是利息錢，還本金少得可憐

假設一個月要還一萬塊，可能裡面有七八千都是付利息，你的本金才少兩三千而已

[猜謎人]

作者: 古里特

偶問過了

不像是泥說的這種方式

對方的說法是銀行會先計算好20期總共該給銀行多少

然後會計算出這20年來，每個月要付多少錢

通常前幾年付的幾乎都是利息錢，還本金少得可憐

假設一個月要還一萬塊，可能裡面有七八千都是付利息，你的本金才少兩三千而已

早期本金很大，當然還的本金很少，大都在付利息，到了晚期就是利息少，還的本金較多

[qdenise]

阿古說的沒錯…

銀行都是吸血鬼…一隻毛也是一個月一個月還

有一次多繳了一些…行員跟他說多繳沒差…並不會減少本金

一問之下才知道…多繳的部分是還下一期的利息

根本沒還到本金…

台銀的行員是說…要還本金要跟他們說…

但是不是真這樣 就不知道了…通常行員很懶…才不會幫你另外算這個

[古里特]

剛剛去算了一下
簡單舉個例子來討論
若是一百萬為例，年利率4%，累計20年，是219萬多，用220萬計算
除以20*12的話，每個月要還9166.666元，算九千塊就好





按照猜老前面所說，若是年利率4%，每個月是4%/12=0.333%
每個月還九千的話，利息是9000*0.333%=30元????



根據我那位朋友的說法
這九千塊當中大約有七千塊是還利息，實際上本金可能只少二千而已，甚至更少
要一直到後面幾年，一個月的九千裡面，才會有大約七千是還本金，其它是利息


也就是說
一百萬的貸款，你還了一年的月繳九千
實際上你只還了2000*12=24000
這時候若是你想要還清本金，銀行會告訴你，你還欠銀行997600元
你才會發現銀行是吸血鬼，第一年實際上給了9000*12=108000
但是本金卻只少了24000元而已




希望這篇有舉出實際數據會討論得比較清楚
實際上九千裡面有多少是利息，我不清楚
但是我銀行朋友說有很高的比例是還利息，卻不透露是多高的比例

[古里特]

作者: qdenise

阿古說的沒錯…

銀行都是吸血鬼…一隻毛也是一個月一個月還

有一次多繳了一些…行員跟他說多繳沒差…並不會減少本金

一問之下才知道…多繳的部分是還下一期的利息

根本沒還到本金…

台銀的行員是說…要還本金要跟他們說…

但是不是真這樣 就不知道了…通常行員很懶…才不會幫你另外算這個

說真的

偶去還過房貸

一百萬的房貸

偶家繳了第三年

每個月五千

結果最近去問，竟然還有89萬多的本金

繳了算兩年半就好，也就是30個月*5000=十五萬

但是本金竟然只少了十萬而已

[猜謎人]

作者: qdenise

阿古說的沒錯…

銀行都是吸血鬼…一隻毛也是一個月一個月還

有一次多繳了一些…行員跟他說多繳沒差…並不會減少本金

一問之下才知道…多繳的部分是還下一期的利息

根本沒還到本金…

台銀的行員是說…要還本金要跟他們說…

但是不是真這樣 就不知道了…通常行員很懶…才不會幫你另外算這個

這個都得看契約而定
不過
若是計算本息攤還的就是依此方式計算

[getter]

有句話是這麼說的

郎扔卡 ... 及四卡 ... 追不到啦 ...

[猜謎人]

老古應該把確實金額和利率拿來計算
因為如果是一百萬，也要看你要分幾年還
本金、利率、期數都是參數
會影響計算的結果
這些假想數字和結果差異會很大的

[猜謎人]

作者: 古里特

剛剛去算了一下
簡單舉個例子來討論
若是一百萬為例，年利率4%，累計20年，是219萬多，用220萬計算
除以20*12的話，每個月要還9166.666元，算九千塊就好





按照猜老前面所說，若是年利率4%，每個月是4%/12=0.333%
每個月還九千的話，利息是9000*0.333%=30元???? 　　　 9000不是你的欠款



根據我那位朋友的說法
這九千塊當中大約有七千塊是還利息，實際上本金可能只少二千而已，甚至更少
要一直到後面幾年，一個月的九千裡面，才會有大約七千是還本金，其它是利息


也就是說
一百萬的貸款，你還了一年的月繳九千
實際上你只還了2000*12=24000
這時候若是你想要還清本金，銀行會告訴你，你還欠銀行997600元
你才會發現銀行是吸血鬼，第一年實際上給了9000*12=108000
但是本金卻只少了24000元而已




希望這篇有舉出實際數據會討論得比較清楚
實際上九千裡面有多少是利息，我不清楚
但是我銀行朋友說有很高的比例是還利息，卻不透露是多高的比例

你的計算不對
如果一個月付9000
那麼第一期利息
1000000*0.333%=3330這是利息
本金還6670

[rezard]

作者: 古里特

營養師薪水高，那也要泥當得到呀

不然偶也可以說園區工程師年薪都破百，只是偶不想去當而已呀


現在工作這麼難找，找到工作卡實在

光嘴巴上說說是沒用的，要真的找到這份營養師工作再來談

南部的醫院診所生態小弟是不知道

之前在中部

像護士這種，缺一直都有，還鬧護士荒

因為即使是護校畢業

還是有人嫌工作累改行去了

或者工作時間無法長久

1-2年後就烙跑

之前SARS嚇壞一堆想當護士的

開的缺始終填不滿

現在有沒有好一點不知道

比起滿街的工程師

小弟還是比較看好護士找到工作的機會

[oya1340]

作者: rezard

南部的醫院診所生態小弟是不知道

之前在中部

像護士這種，缺一直都有，還鬧護士荒

因為即使是護校畢業

還是有人嫌工作累改行去了

或者工作時間無法長久

1-2年後就烙跑

之前SARS嚇壞一堆想當護士的

開的缺始終填不滿

現在有沒有好一點不知道

比起滿街的工程師

小弟還是比較看好護士找到工作的機會

rz爸心地好難怪小勛勛這麼可愛

[古里特]

作者: rezard

南部的醫院診所生態小弟是不知道

之前在中部

像護士這種，缺一直都有，還鬧護士荒

因為即使是護校畢業

還是有人嫌工作累改行去了

或者工作時間無法長久

1-2年後就烙跑

之前SARS嚇壞一堆想當護士的

開的缺始終填不滿

現在有沒有好一點不知道

比起滿街的工程師

小弟還是比較看好護士找到工作的機會

營養師的缺和護士的缺不一樣吧

從前面開始都是討論營養師這個職缺吧

甚麼時候又變成護士的職缺了


小的從前面開始講的

就是要OYA先找到一份待遇優的營養師工作

再來談之後的事情

畢竟要找到工作才算數，待遇優的大家都想要

[古里特]

作者: oya1340

rz爸心地好難怪小勛勛這麼可愛

阿諛奉承的熟女

[古里特]

作者: 猜謎人

你的計算不對
如果一個月付9000
那麼第一期利息
1000000*0.333%=3330這是利息
本金還6670

但偶去問過

一般銀行給的房貸和貸款

都不會是這種比例

都是前幾年利息佔很重的比例

不太可能一萬塊裡面有3330是利息，6670是還本金


若是還利息6670，還本金3330比較有可能